Triángulos herónicos

Los triángulos herónicos, llamados así en referencia a Herón de Alejandría que estudió el de lados (13, 14, 15), son aquellos que tienen lados y área racionales, y con una unidad adecuada, enteros. La condición necesaria y suficiente para que un triángulo sea herónico es que dos de las tangentes de sus semiángulos sean racionales.

En ese caso también lo es la 3ª:

α/2 + β/2 + γ/2 = 90º ⇒ tg(γ/2) = 1 - tg(α/2)tg(β/2)/(tg(α/2) + tg(β/2))

Como γ/2<90º, debe ser tg(α/2)tg(β/2) < 1.

Si las tangentes de los semiángulos son racionales, también lo son los senos y cosenos de los ángulos:

sen(α) = 2tg(α/2)/(1 + tg²(α/2)
cos(α) = (1 - tg²(α/2))/(1 + tg²(α/2)

Por tanto si el radio R de la circunferencia circunscrita es racional, también lo serán los lados: a = 2Rsen(α), b = 2Rsen(β), c = 2Rsen(γ). Entonces el área S=½a·b·sen(γ) y el semiperímetro s=(a + b + c)/2 también son racionales, así como el radio de la circunferencia inscrita r = S/s y las alturas h_A = 2S/a ...

Escogiendo R igual a ½ del mínimo común múltiplo de los denominadores de los senos, los lados resultan enteros.

Recíprocamente, si los lados y el área son racionales, también lo son el semiperímetro s y el el radio r de la circunferencia inscrita, así como las tangentes de los semiángulos, pues tg(α/2) = r/(s - a) ...

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 9 octubre 2020. Creado con GeoGebra