Longitud de una paralela intermedia en un trapecio

En un trapecio, la longitud e de una paralela a las bases a y c que determine segmentos de longitud p y q en uno de los otros lados es la media ponderada de las bases, con pesos iguales a los segmentos que determina la otra base:

e = (qa + pc)/(p + q)

Pueden desplazarse los vértices B, C y D del trapecio, y el punto E.

Si la paralela pasa por el punto de corte de las diagonales, su longitud es la media armónica de las longitudes de las bases.

Evidentemente, lo mismo es cierto para los segmentos determinados por cualquier otra transversal. En particular, la perpendicular a las bases.

¿Qué ocurre en cada uno de los casos p = 0, q = 0, p = q?

El cociente de las áreas, dado que las alturas son proporcionales a p y q, puede expresarse como:

S_p/S_q = (p/q) ((a + e)/2)/((c + e)/2) = (p/q) (a + (qa + pc)/(p + q))/(c + (qa + pc)/(p + q))

S_p/S_q = (p²(a + c) + 2pqa)/(q²(a + c) + 2pqc)

Nuevamente, ¿qué ocurre en cada uno de los casos p = 0, q = 0, p = q?

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 15 febrero 2017. Creado con GeoGebra