Tetraedro regular

Es el primero de los sólidos platónicos, compuesto por 4 triángulos equiláteros, 6 aristas y 4 vértices. Carece de diagonales, pues las aristas conectan todos los vértices. igualmente todas las caras son vecinas, por lo que para colorearlo sin que caras vecinas compartan color son necesarios 4 colores.

Es sabido, por geometría de masas por ejemplo, que el centro de las caras está a ⅓ de sus bases. Igualmente se ve que el centro K del tetraedro está a ¼ de la base. Es fácil, por la paralela media de un triángulo, ver que los puntos medios de 4 aristas que formen un cuadrilatero alabeado, que no concurran tres en un vértice, determinan una sección cuadradade lado ½a, siendo a la arista del tetraedro. Se deduce igualmente que los tres pares de aristas opuestas, que no comparten vérices, son perpendiculares y se hallan a una distancia √2/2 a.

Los puntos medios de las seis aristas determinan un octaedro regular de arista a/2. Este octaedro deja fuera 4 tetraedros de arista también a/2, cuyo volumen será ⅛ del original. Se deduce entonces que el octaedro tiene un volumen igual al de 4 tetraedros de la misma arista. En la figura, la mitad del tetraedro grande. Es evidente que el ángulo entre las caras del tetraedro es suplementario del que forman las caras del octaedro. Octaedros y tetreadros conjuntamente permiten rellenar el espacio.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 5 julio 2023. Creado con GeoGebra