Tetraedro biselado

En el interior de un tetraedro [ABCD] de lado 10 (n) se desplaza un tetraedro P de arista 1, de manera que siempre mantiene una de sus aristas enteramente en contacto con una del grande. Determimar el volumen NP no barrido por el tetraedro P.

El cuerpo NP resultante es un tetraedro al que se le han biselado las seis aristas a una distancia 1. Es un cuerpo con 4 caras triangulares de arista 7 (n-3), centradas en las caras del tetraedro inicial, y seis caras hexagonales. Estas se pueden considerar formadas por un rectángulo de longitud 7 (n-3) y ancho 1, más dos triángulos rectángulos e isósceles de hipotenusa 1. Una de ellas es [EFGHIJ].

El volumen NP se puede calcular como el de [ABCD] menos el de 6 prismatoides, con unas bases iguales a [EFGHIJ] y las otras reducidas a una arista como AB, con una altura h igual a la distancia entre aristas opuestas del tetraedro P, que es √2/2. Sus secciones planas paralelas a la base a una distancia d varian a lo sumo cuadráticamente con d, ya que las longitudes de sus lados lo hacen linealmente.

Por tanto, el volumen puede calcularse con la fórmula de Simpson, exacta para funciones cuadráticas: V=⅙h(S₁+4·S_m+S₂), siendo S₁ y S₂ las áreas de las bases y S_m la de la sección a media distancia d = ½ h.

En este caso es S₁ = [EFGHIJ], S₂ = [AB]=0, y en cuanto a S_m se trata de un hexágono compuesto por un rectángulo de longitud ½(10+7) y anchura ½, y dos triángulos rectángulos e isósceles adosados, de hipotenusa ½.

Se ha usado que el volumen del tetraedro regular de arista a es V_Tr = √2/12 a³. Si la arista AB tuviese longitud n y la del tetraedro P longitud 1, el volumen de NP sería n³-18n+30 veces el de P.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 23 febrero 2021. Creado con GeoGebra