Teorema de Bang

En cualquier tetraedro, los segmentos trazados en cada cara desde los puntos de contacto de la esfera inscrita hasta los vértices, forman los mismos tres ángulos en las cuatro caras.

Estos segmentos dividen a las cuatro caras en 12 triángulos. Los pares de estos triángulos que comparten una misma arista del tetraedro son congruentes, pues por la igualdad de las tangentes trazadas a una esfera desde un punto, tienen sus tres lados iguales. Esto implica que los ángulos opuestos a la misma arista, rotulados igual, sean iguales.

Sumando los ángulos en cada punto de contacto, se tiene entonces:

α + β + γ = α + β' + γ' = α' + β + γ' = α' + β' + γ = 360°

Restando α al primer y 2º términos, y α' al 3º y 4º, queda:

β + γ = β' + γ', β + γ' = β' + γ ⇒ β - β' = γ' - γ = γ - γ' ⇒ γ = γ' ⇒ β = β' ⇒ α = α'

En definitiva, los cuatro ángulos opuestos a cada par de aristas opuestas son iguales.

Propuesto por Bang como problema en 1897 y resuelto por Gehrke ese mismo año. (Theorem of Bang. Isosceles Tetrahedra).

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 26 abril 2022. Creado con GeoGebra