Suma de razones en cevianas concurrentes (Teorema de Gergonne)

Si P es un punto cualquiera del interior del △ABC, la suma de los cocientes de las longitudes de los segmentos de ceviana desde los lados hasta P entre las longitudes de las cevianes es igual a 1. En cada caso, las distancias del punto P hasta sus trazas deben considerarse negativas si P está en el semiplano determinado por el lado distinto al del vértice correspondiente.
(Teorema de Gergonne)

Por ejemplo, la razón entre las áreas de △CAP y △CAB, que tienen la misma base CA, es la misma que la de sus alturas, que por semejanza de triángulos es la misma que EP/EB. Al igual que las distancias, las áreas de los triángulos determinados por P y los lados deben considerarse negativas cuando P está en el semiplano opuesto al del vértice correspondiente. De esta manera el área de △ABC será siempre la suma, con el signo correspondiente, de las de los triángulos △ABP, △BCP y △CAP.

Si en lugar de las distancias desde los lados, se toman las distancias desde los vértices, la suma es:

PA/DA + PB/EB + PC/FC = (1 - DP/DA) + (1 - EP/EB) + (1 - FP/FC)

             = 3 - (DP/DA + EP/EB + FP/FC) = 2

Para el baricentro, en cada caso, los tres cocientes son iguales a ⅓ y ⅔ respectivamente.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 19 noviembre 2017. Creado con GeoGebra