Suma de una progresión aritmético geométrica

Los términos de una progresión aritmético geométrica de grado k, son iguales al producto de un polinomio de grado k, por las potencias de la razón:

a(n) = P_k(n)·rⁿ

Aqui se muestra gráficamente la suma de todos los términos de la progresión, la suma de la serie aritmético geométrica de primer grado con P₁(n) = ½ n y r = ½:     a(n) = n·(½)ⁿ⁺¹.

La serie converge ⇔ |r| < 1

Para sumar las de primer grado, tanto las sumas finitas como las series cuando |r| < 1, basta con multiplicar la suma/serie por la razón y restarla de la suma:

S_n = Sum((a +k·b)·r^k, k, 0, n), r·S_n = Sum((a +k·b)·r^k+1, k, 0, n)

S_n - r·S_n = (1-r)S_n = a + b·Sum(r^k+1, k, 1, n) - (a + n·b)·rⁿ⁺¹

Y de aqui se despeja S_n, después de sumar la progresión geométrica. Si |r| < 1, el último término tiende a 0 cuando n → ∞, y queda

S = a/(1-r) + b·r/(1-r)² = (a + (b-a)r)/(1-r)²

En el ejemplo, a = 0, b = r = ½.

Si el polinomio es de grado superior al primero, debe repetirse el proceso, rebajandose un grado de cada vez.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 2 abril 2017. Creado con GeoGebra