Sólido de Escher

Este sólido aparece en la litografía Cascada de M.C.Escher, culminando la torre derecha. Es una estelación del rombododecaedro, obtenida adosando a éste pirámides rómbicas, cuyas dos aristas laterales cortas son iguales a las del rombododecaedro y las dos largas 2/√3 veces éstas. De esta forma, los doce vértices de estas pirámides están situados en los puntos medios de las aristas de un cubo que circunscribe al sólido. Su cierre convexo, el poliedro convexo mínimo que lo contiene, es entonces un cuboctaedro.

Consta por tanto de 12·4 = 48 caras, triángulos isósceles de lados a, √3a/2 y √3a/2, 12 vértices convexos correspondientes a los vértices de las pirámides, y 14 cóncavos de dos tipos: 8 correspondientes a los vértices con ángulos obtusos de los rombos del núcleo rombododecaédrico, y 6 a los de ángulos agudos. Éstos últimos coinciden con los centros de las caras del cubo circunscrito. Tiene 72 aristas, 24 de longitud a y 48 de longitud √3a/2, aunque en 36 pares alineados de longitud doble.

Considerando el cubo circunscrtito su volumen se calcula fácilmente, pues las dos mitades de las cuatro pirámides cuyos vértices están situados en un mismo plano, que las biseca, pueden bascular, haciendo coincidir las caras del mismo color o del contrario en la figura, para completar un prisma cuyas bases son los cuadrados de puntos medios de dos caras opuestas del cubo, y cuya altura es la de este. Por tanto, su volumen es 4a³, la mitad de este cubo en el que está instrito, siendo a la arista larga del sólido.

Se ve así que este sólido rellena completamente el espacio, pues las pirámides emergentes encajan en las concavidades

También puede concebirse el Sólido de Escher como 3 octaedros no regulares maclados, cada uno con cuatro vértices en los puntos medios de cuatro aristas paralelas del cubo circunscrito, y los otros dos en los puntos medios de las caras conectadas por tales aristas.

Finalmente, considerando como formando una sola cara cada una de las 12 cuaternas de caras coplanarias, junto con la correspondiente al núcleo rombododecaédrico, podemos considerarlo como un poliedro estrellado autointersecante, de caras hexagonales irregulares, y no convexas. Tendría entonces 12 caras, 20 vértices (8 convexos de orden 4 y 12 cóncavos de orden 6) y 36 aristas aristas, con un característica euleriana de -4, en lugar de 2, que es la correspondiente a un poliedro topológicamente equivalente a uno convexo.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 26 abril 2023. Creado con GeoGebra