Secante común de longitud dada a dos circunferencias secantes

Por uno de los puntos A de intersección de dos circunferencias secantes c y c', de centros O y O', trazar una secante CAD que tenga una longitud s dada.

Análisis: Suponiendo el problema resuelto, trazamos una secante CAD. Si B es el otro punto de intersección de las circunferencias, vemos que ∠ACB y ∠ADC no cambian su valor con la posición de C y D. Por tanto los △BCD son siempre semejantes. Además, el valor máximo de la secante CAD se produce cuando es perpendicular a la cuerda común AB, de manera que ∠CAB=∠BAD=90° y los segmentos BC y BD son diámetros de c y c' respectivamente. Hay solución si la longitud dada s es menor o igual que la de esta secante, y vendrá dada por un triángulo △BCD con CD de longitud s. La longitud máxima es s = 2d = 2OO', puesto que OO' es en ese caso la paralela media de △BCD.

Construcción: Dibujamos el △BC₀D₀, con C₀D₀ perpendicular a AB. Si |C₀D₀| = s, ya tenemos la secante deseada. En caso contrario, llevamos sobre ese segmento a partir de C₀ la longitud s hasta el punto F. Trazando por F la paralela a D₀B, tenemos el triángulo semejante que buscamos. La longitud C₀G será la misma que la BC de nuestra solución (y la GF igual a la BD). Trazando una circunferencia de centro B y radio C₀G, cortará en dos puntos C y C' a c, puesto que C₀G es menor que el diámetro de c. Las rectas CA y C'A vuelven a cortar a la circunferencia c' en D y D' completando la solución.

Discusión: Si s = 2d hay una sola solución; si s < 2d hay dos. El punto A puede o no estar en los segmentos CD y C'D'. Lo estará en las dos soluciones, una o ninguna dependiendo de que s sea mayor que las dos cuerdas por A de cada circunferencia tangentes a la otra, que solo de una de ellas, o bien que de ninguna.

Pueden cambiarse la longitud s de la secante y la posición de los puntos de corte A y B y los centros O y O', así como la posicin del punto C cuando está marcada la casilla 'Análisis'.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 6 abril 2017. Creado con GeoGebra