Rombos y polígonos regulares

A partir de n rombos con ángulos iguales a 360º/n pueden construirse polígonos regulares, adosándolos por esos ángulos y completando con sucesivas capas de rombos de igual lado, encajados entre los de la capa anterior.
Con [(n-1)/2] capas de n rombos, los corchetes indican la parte entera, se obtiene un polígono regular:

1) de 2n lados, si n es impar, con el mismo lado que los rombos.

2) de n lados si n es par, con lados de longitud doble que los rombos.

Observese que los ángulos que apuntan al centro del polígono son sucesivos múltiplos en cada capa de 360º/n. Por ello, si n es par, los de la última capa tienen ángulos iguales a (n-1)/n 180º y 1/n 180º, iguales a los centrales. En este caso, se forman también polígonos regulares de n lados, con un vértice en el centro y otro en los vértices del mayor.

Cuando n es par, proporciona una disección del 2n-gono regular en 4 2n-gonos iguales. Si n es múltiplo de 4, pueden dibujarse 4 polígonos iguales con la cuarta parte de área que se superponen dos a dos en la misma superficie que dejan libre, un ejemplo del Teorema de las Alfombras.

En función de n,

¿Cuántos tipos de rombos aparecen?

¿Cuándo son cuadrados algunos de ellos?

Cuando n es par, ¿qué relación hay entre el área del polígono mayor y la de los que se pueden formar en su interior (como el resaltado con lados más gruesos)?

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 31 enero 2019. Creado con GeoGebra