Regiones en un círculo

Se tienen n puntos en una circunferencia y se traza la cuerda que une cada par de puntos. Los puntos se stúan de manera que no concurran tres cuerdas en un mismo punto interior a la circunferencia.

Hay varias formas de verlo. Quizás la más rápida sea pensar en que ocurre cuando vamos retirando cada una de las cuerdas. Si en ella había k puntos de intersección, que la dividian en k+1 segmentos, desaparecen k+1 regiones. Al quitar otra, desaparecerán k'+1 regiones, donde k' es el número de puntos que había en esa cuerda, después de retirar las anteriores.

En definitiva, al retirar todas las cuerdas, han desaparecido tantas regiones como puntos de intersección y cuerdas había, y aún nos queda una, el círculo completo. Luego si el número de cuerdas es c(n) y el de puntos de intersección es p(n), el número de regiones para n puntos es:

r(n)=p(n)+c(n)+1

El número de cuerdas es fácil de calcular: cada par de puntos produce una cuerda. Por tanto, son Comb(n,2). En cuanto al de los puntos de intersección, por cada cuatro puntos en la circunferencia hay uno, pues los cuatro puntos forman un cuadrilátero convexo, y los segmentos que los unen son sus cuatro lados y las dos diagonales, que se cortan en un punto en su interior. Por tando p(n)=Comb(n,4).

El número de regiones es:

r(n) = 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, ...

empezando por n=0 (0 puntos, una región, todo el círculo). Es curioso que desde n=1 hasta 5 se corresponde con 2^n-1. La "ley débil de los números pequeños" nos hace pensar que r(6) debe ser 32, y resulta que no, que falta una ... Para mayor abundamiento, resulta que r(10)=2⁸.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 15 febrero 2012. Creado con GeoGebra