Reflexión en elipse e hipérbola confocales

La elipse y la hipérbola comparten los mismos focos, F y F' y tienen semiejes principales a y a'. Del foco F parte un rayo que se refleja en la hipérbola en el punto P, como si proviniese del foco F'. Cuando alcanza a la elipse en el punto Q, se refleja hacia el foco F. El perímetro del triángulo FPQ es independiente del punto P, dentro de una misma rama de la hipérbola y siempre que sea interior a la elipse, y de c, con tal de que a' < c < a.

Si el punto P está en la rama más próxima al foco F,

QF + QF' = 2a (diámetro principal de la elipse)
PF' - PF = 2a' (diámetro principal de la hipérbola)
FP + PQ + QF = FP + F'Q - F'P + QF = (F'Q + QF) - (F'P - FP) = 2a - 2a'

Si por el contrario P está en la rama más alejada de F,

QF + QF' = 2a (diámetro principal de la elipse)
PF - PF' = 2a' (diámetro principal de la hipérbola)
FP + PQ + QF = FP + F'Q - F'P + QF = (F'Q + QF) + (FP - F'P) = 2a + 2a'

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 20 marzo 2013. Creado con GeoGebra