Razón doble de cuatro puntos alineados

La razón simple de tres puntos alineados se define como: RS(A, B, C) = AC/AB, donde los segmentos se consideran orientados. Es decir, tienen el mismo signo si los vectores AB y Y AC tienen el mismo sentido, y signo contrario si tienen sentido contrario. Por tanto, el orden es esencial.

La razón doble de cuatro puntos alineados se define como el cociente de las razones simples: RD(A, B, C, D) = RS(B, C, D)/RS(A, C, D).

Para rectas concurrentes, se definen de forma similar, pero utilizando los senos de los ángulos agudos que forman, contados siempre en el mismo sentido, por ejemplo positivo.

Una serie de puntos de una recta r pueden proyectarse en el haz de rectas que los une con un punto O exterior a r. A su vez un haz de rectas puede cortarse por una recta s que no pasa por el vértice del haz, originando una serie de puntos.
Estas series y haces se dicen proyectivos entres si.

La razón doble se conserva en las proyecciones y secciones, a diferencia de la razón simple. Esto permite reconocer fácilmente si dos series/haces son proyectivos o no, segun que sus elementos correspondientes tengan iguales razones dobles o no. Las proyecciones conservan la ordenació de las series y haces.

En la figura pueden desplazarse los cuatro puntos blancos que definen a las rectas r y s, y los puntos A, B, C y D que se proyectan desde O según las rectas a, b, c y d, que a su vez se cortan por la recta s, originado la serie A', B', C' D'. También puede variarse el centro de proyección O.

En Geometría proyectiva se considera ademas un punto del infinito para cada recta, compartido por todas las que son paralelas, y una recta del infinito, formado por todos los puntos del infinito. Esto permite que la proyectividad este definida para todos los puntos/rectas. Por ejemplo, si la recta a, que proyecta al punto A, es paralela a s, el punto A' en que se corta con s es el punto del infinito de ambas. Para estos elementos también se conservan las propiedades de la razón doble, aunque la construcción no da cuenta apropiadamente de ellas.

Todas estas definiciones se generalizan fácilmente al espacio de tres dimensiones.

Se puede ocultar/mostrar la cudrícula para colocar los puntos/rectas en posiciones especiales y comprobar gráficamente que no se conserva la razón simple. También puede animarse el punto D con el control de la esquina inferior izquierda.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 21 agosto 2016, Creado con GeoGebra