Producto mixto

El producto mixto (a veces también llamado triple) de tres vectores u, v y w de V³ es el producto escalar del primero por el producto vectorial de los otros dos: [u, v, w] = u·(v×w) . Se trata por tanto de un número. Si los vectores están expresado en una base ortonormal, se ve fácilmente a partir del cálculo de los productos vectorial y escalar en tal caso, que es igual al determinante formado por las componentes de los tres vectores.

Como el intercambio de filas en un determinante cambia el signo de este, cualquier permutación circular de los tres vectores deja el producto invariante, mientras que una permutación de dos de ellos le cambia el signo, pero en ningún caso el valor absoluto.

Marcando la casilla 'Int. geom.' puede verse la interpretación geométrica del producto mixto: su valor absoluto es igual al volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores cuando están aplicados en el mismo punto.

¿Qué ocurre si los vectores son paralelos?

¿Y si uno de ellos es nulo?

¿Y si uno de ellos es combinación lineal de los otros dos (son coplanarios)?

¿Como puede calcularse el volumen de un tetraedro conociendo las coordenadas de sus vértices?

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 12 abril 2017. Creado con GeoGebra