Producto escalar

El producto escalar de dos vectores de V², vectores libres del plano (o de V³, vectores libres del espacio), se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. Como los cosenos de ángulos opuestos son iguales, de la misma definición se desprende de inmediato la conmutatividad de la operación.

A partir de ésta definición, si los vectores se expresan en una base ortonormal, formada por vectores mutuamente perpendiculares y de módulo 1, se ve que el producto escalar es igual a la suma de los productos de las coordenadas correspondientes. Esto permite calcular los módulos de lo vectores y los ángulos que forman, conocida su expresión en una base ortonormal. Así pueden extenderse extenderse estos conceptos a espacios vectoriales de cualquier número de dimensiones y constituidos por elementos de todo tipo.

Marcando la casilla 'Int. geom.' puede verse la interpretación geométrica del producto escalar: es igual al producto del módulo de un vector por la proyección del otro sobre él, en la que el papel de ambos vectores es intercambiable. Dicho de otra forma, el producto escalar es igual al producto de las componentes de ambos vectores en la dirección de cualquiera de los dos. Pulsando el botón puede intercambiarse el papel de los vectores en la interpretación geométrica.

¿Cuándo es positivo, nulo o negativo el producto escalar de dos vectores?

¿Cuánto vale el producto si uno de los vectores es el vector nulo?

¿Qué ocurre con el producto escalar si se multiplica uno de los vectores por una constante positiva?

¿Y si la constante es negativa? Ten en cuenta como cambia entonces el ángulo que forman los vectores.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 9 abril 2017. Creado con GeoGebra