Circuncentros equidistantes

Problema 289 de la Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española. Propuesto por Cristóbal Sánchez Rubio, I. E. S. Penyagolosa, Castellón.

“En el triángulo ABC, la bisectriz interior del ángulo A corta al lado opuesto en el
punto D. Los puntos O, O₁ y O₂ son los centros de las circunferencias circunscritas a los triángulos ABC, ABD y ACD, respectivamente. Probar que OO₁ = OO₂.”

Resolución: Los ángulos ∠OO₁O₂ y ∠BAD son iguales o suplementarios, pues sus lados son perpendiculares. Otro tanto ocurre con ∠OO₂O₁ y ∠CAD = ∠BAD. Entonces ∠OO₁O₂ = ∠OO₂O₁, ya que no pueden ser suplementarios por ser ángulos de ∆OO₁O₂. Por tanto este triángulo es isósceles y OO₁ = OO₂.

Una consecuencia interesante es que los puntos A, O₁, O y O₂ son concíclicos:

Sean E y F los puntos medios de AB y AC respectivamente, y E' y F' los puntos medios de los arcos AB y CA, exteriores al triángulo, de las circunferencias circunscritas a ∆ABD y ∆ACD respectivamente. Si ∆ABC es isósceles, ∠ADB = ∠ADC = 90° y O₁ y O₂ coinciden con F y G respectivamente. En ese caso ∠AO₁O = ∠AO₂O = 90° y los cuatro puntos son concíclicos, siendo AO un diámetro.

Si ∆ABC no es isósceles uno de los ángulos en D es agudo, sea por ejemplo el ∠ADC. Por ser ángulos inscrito y central abarcando el mismo arco, ∠AO₂C = 2∠ADC ⇒ ∠AO₂F = ∠ADC. Por el mismo motivo, ∠AO₁D = ∠AE'B = 180° - ∠ADB = ∠ADC = ∠AO₂F. Como ∆EAO₁ y ∆FAO₂ son rectángulos, sus otros ángulos también son iguales, ∠O₁AE = ∠O₂AF. Por tanto ∠O₁AO₂ = ∠EAF = 180° - ∠O₂OO₁ y los puntos A, O₁, O y O₂ son concíclicos.

Los triángulos isósceles ∆AO₁B y ∆AO₂C tienen dos pares de ángulos iguales, por lo que son semejantes, sus lados son proporcionales y los triángulos ∆AO₁O₂ y ∆ABC son igualmente semejantes. Sus bisectrices AO y AD forman el mismo ángulo que los lados respectivos, ∠OAD = ∠O₁AB = ∠O₂AC.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 19 abril 2016. Creado con GeoGebra