Probabilidad de que dos cuerdas se corten

Se trazan aleatoriamente dos cuerdas AB y CD en una circunferencia. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cuerdas se corten?

Se puede fijar sin restricciones la posición del punto A. Sea x = ∠AOB, y =∠AOC y z = ∠AOD, contados todos positivamente. Para que las cuerdas se corten debe estar C en el arco AB y D en el BA o viceversa. para calcular la probabilidad se puede proceder al menos de tres formas:
i) Promediar la probabilidad para 0 < x < 2π de que C y D estén a en diferentes lados de AB:
P= 1/(2π)∫(2(θ/(2π))·((2π-θ)/(2π)), θ, 0, 2π) = ⅓
ii) Dividir el volumen de la región favorable, dos pirámides altura 2π y base ½(2π)², por el volumen del espacio muestral, (2π)³, con el mismo resultado.
iii) La más directa: considerar que para cualquier disposición de los 4 puntos A, B, C y D hay tres formas de unirlos con dos cuerdas, en una sola de las cuales se cortan.