Polaridad respecto a una circunferencia

La recta polar p de un punto P respecto de una circunferencia ω de centro O es la recta perpendicular a OP que pasa por el inverso P' de P respecto de ω. Recíprocamente, P es el polo de p. Por tanto, si P es exterior, p es secante, si P es interior p es exterior, y si P está en la circunferencia, p es la tangente en P.

La polar de O es la línea del infinito, l_∞, y el polo de cualquier recta p que pase por O es el la intersección de l_∞ con una perpendicular a p. Se trata por tanto de una correspondencia biunívoca entre los puntos y las rectas del plano proyectivo, que establece una dualidad entre ellos. De esta forma, en teormas puramente de incidencia se pueden reeplazar los polos por sus polares y vivecersa, y las relaciones 'pasa por' con 'está en'.

Si P es exterior a ω, p pasa por los puntos de tangencia T y T'.

La polaridad es recíproca: Si Q esta en la polar de P, P está en la polar de Q.

En un triángulo autopolar, cada lado es la polar del vértice opuesto. Siempre tienen un ángulo obtuso, que corresponde al único vértice interior a la ciercunferencia. El centro O de ω es su ortocentro, de manera que los cuatro forman un cuadrivértice ortocéntrico.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 30 noviembre 2022. Creado con GeoGebra