φ en el triángulo equilátero

Dado el triángulo equilátero △ABC de lado 2, construir otro triángulo equilátero △DEF en su interior concéntrico con él y con sus vértices alineados, y tal que los cuatro triángulos en que queda dividido △ABC tengan la misma área. Determinar las distancias AD y BD.

La circunferencia ω que pasa por los vértices A y B del triángulo equilátero △ABC y por el simétrico C' de C respecto del lado AB, es tangente a los lados AC y BC (¿por?). Esto asegura que para cualquier punto D sobre ella en el interior del △ABC, los segmentos que lo unen con esos los vértices A y B forman ángulos iguales con los lados, ∠BAD = ∠CBD, porque son ángulos inscritos y semiinscritos abarcando el mismo arco BD.

Rotando D 120º respecto al centro O del triángulo por dos veces, se obtienen puntos E y F, vértices de otro triángulo △DEF equilátero. Entre ambos triángulos equilateros quedan delimitados tres triángulos escalenos iguales, con un ángulo de 120° opuesto al lado del triángulo inicial.

Si el punto D se escoge en la intersección con la circunferencia inscrita, el △DEF será tiene un área de la cuarta parte del △ABC, por lo que este queda dividido en cuatro triángulos de la misma área. El lado del △DEF será entonces la mitad que el del triángulo △ABC. Llamando d = AF = BD = CE a la distancia más corta entre los vértices de ambos triángulos equiláteros y aplicando el teorema del coseno al △ABD se obtiene que

2² = (d + 1)²+d²- 2d(d + 1)cos 120° = (d + 1)² + d² + d(1 + d) = 3d² + 3d + 1

⇒ 3(d² + d - 1) = 0 ⇒ d = (√5 - 1)/2 = φ⁻¹

La distancia entre los vértices más alejados es entonces

AD = BE = CF = 1 + φ⁻¹ = (φ + 1)/φ = φ²/φ = φ

A partir de Golden Ratio in Equilateral Triangles

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 13 enero 2026. Creado con GeoGebra