Distancia mínima entre parábolas coaxiales

Sin pérdida de generalidad, puede representarse una de ellas como λ:y=x², la exterior con parámetro ½, recordando que todas las parábolas tienen la misma forma. Si la otra tiene de ecuación μ:y=px²+q, para que la distancia mínima d entre ellas se mayor que cero debe ser p>1 y q> 0, siendo 1/2p el párámetro de μ y q la distancia entre los vértices.

La gráfica roja presenta la mínima distancia d del punto A, en la parábola λ, a la parábola μ, lo que ocurre en el punto B, en la recta normal por A a μ. Pero en general, el punto más próximo de λ a B no será A. Cuando esto ocurra, las normales a ambas parábolas en A y B serán coincidentes. Para determinar A y B y la distancia mínima d entre ellas, basta entonces escribir las ecuaciones de sus normales en puntos A y B genéricos en forma explícita e igualar sus pendientes y abscisas en el origen.

Esto siempre ocurre para los vértices de las parábolas. Además hay otros dos, simétricamente dispuestos respecto al eje común, solo si q>(p-1)/2p. En este caso la distancia mínima se da en estos puntos, mientras que en los vértices hay un máximo local.

Si por el contrario es q ≤ (p-1)/2p, la distancia mínima se produce entre los vértices.

Esta distancia mínima d coincide con el máximo diámetro de una circunferencia que puede desplazarse entre ambas.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 25 agosto 2022. Creado con GeoGebra