Parábolas y polígonos regulares (demostración)

Si una parábola k y una circunferencia w se cortan en cuatro puntos A, B, C y D, las cuerdas opuestas (lados del cuadrilátero inscrito en ambas) forman ángulos iguales, pero de distinto signo, con el eje de la parábola.

Como todas las parábolas tienen la misma forma, es suficiente demostralo para la parábola k: y = x² y cualquier circunferencia w que la corte en cuatro puntos. Sustituyendo en la ecuación de la circunferencia y = x², se obtiene una ecuación de 4º grado en x sin término de tercer grado, por lo que debido a las relaciones de Cardano-Vieta, la suma de las cuatro raices a, b, c y d es nula.

Como las pendientes de la cuerdas s = AB y t = CD son m_s= a + b y m_t = c + d respectivamente, resulta que sus pendientes son opuestas y forman ángulos iguales con la dirección del eje.

Si A, B y D son vértices de un polígono P_r regular con un eje de simetría MM' perpendicular al eje de la parábola, los simétricos A' y D' de A y D también serán vértices del polígono, y el arco A'B resulta igual que el arco CD', por lo que C también será un vértice de P_r.

Si α_i son los árgumentos de los cuatro vértices (los ángulos que forman con M' desde Q), se ve facilmente que la suma de los cuatro es 4π.

Si consideramos el polígono regular de n lados formado por las raíces complejas de la ecuación zⁿ=1, se sigue si z₁, z₂ y z₃ son tres de los vértices, el cuarto es z₄=1/(z₁z₂z₃).