Olimpiada Matemática de Baleares 2013 - Problema 5

Sean O₁, O₂ dos puntos cualesquiera del plano. Sean c₁ la circunferencia de centro O₁ que pasa por O₂ y c₂ la de centro O₂ que pasa por O₁. Sea c la circunferencia que tiene como diámetro al segmento O₁O₂.

Supongamos ahora que r es el radio de la circunferencia que es tangente interiormente a c₁, exteriormente a c₂ y tangente también al diámetro de c₁ que es perpendicular al segmento O₁O₂, y que r' es el radio de la circunferencia tangente interiormente a c₁ y c₂ y exteriormente a c. Demostrar que r = r'

Basta considerar la inversión en la circunferencia c₁. Esta inversión transforma la recta d perpendicular por O₁ al segmento s = O₁O₂ y a la circunferencia c₁ en si mismas, a la circunferencia c₂ en la recta c'₂, paralela a d por O, punto medio de s, y a la circunferencia c en la recta c', paralela por O₂ a d. Las rectas d, c'₂ y c' son paralelas y están igualmente distanciadas.

Las inversas de las dos circunferencias rojas son las circunferencias tangentea a c₁, c'₂ y a d y c' respectivamente, por lo que tienen el mismo radio, y sus inversas, las circunferencias rojas, también, puesto que las primeras son tangentes a la circunferencia de inversión y del mismo radio, la mitad del de c. El de las circunferencias rojas es la tercera parte del de c, ⅙ de s.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 11 febrero 2013. Creado con GeoGebra