Normales a una elipse por un punto

Trazar la normal a una elipse por uno de sus puntos es sencillo: es la bisectriz de los radios vectores del punto (los segmentos que los unen con los focos), o la perpendicular a la tangente, que puede determinarse fácilmente mediante el cáculo diferencial.

El problema de hallar las normales desde un punto que no pertenece a la elipse es más complejo, porque pueden ser hasta 4, y requiere en el caso general resolver una ecuación de 4º grado, por lo que no puede resolverse con regla y compás.

Aquí se ha utilizado una elipse Ω centrada en el origen y con sus focos F y F' en el eje Ox, de ecuación x²/a² + y²/b² = 1. Lo que se ha hecho es buscar los puntos T_i de la elipse en los que el segmento T_iP tiene pendiente -1/(2m_i), sindo m_i la derivada de y respecto de x en T_i. Se obtienen una ecuación de 4º grado en una de las variables y a continuación debe elegirse el signo adecuado para la otra y = ±(b/a)√(a²-x²).

El polinomio de 4º grado esta representado en color magenta, aunque no se vea completa su gráfica y en ocasiones parezca un par de rectas verticales. Sus raíces, los pequeños puntos blancos en el eje Ox, representan las abscisas de los puntos T_i. Aparte de ser reales, deben estar en el intervalo [-a, a] para que correspondan a puntos T_i reales.

La evoluta ω es el lugar geométrico de los centros de curvatura y la envolvente de las rectas normales, de manera que estas son tangentes a ella. Desde su interior se pueden trazar 4 normales a Ω y desde su exterior 2. Desde la propia evoluta ω, 3.

Pueden cambiarse los semiejes de Ω, 0 ≤ a≤ 5, 0 ≤b ≤ a, desplazando los vértices A y B, con los deslizadores o mediante las casillas de entrada correspondientes. Igualmente puede desplazarse el punto P, o introducir sus coordenadas en la correspondiente caja de entrada.

Utilizando los botones de la derecha, puede hacerse que el punto se mueva automaticmente por la elipse Ω, por la evoluta ω o por una circunferencia δ de radio modificable. Pulsando el botón 'P libre' se para la animación y puede moverse el punto P nuevamente con el ratón. También puede moverse, con la animación parada en cualquiera de los cuatro modos, seleccionándolo con el ratón y manteniendo pulsada cualquiera de las cuatro teclas de dirección (flechas), solas o en combinación con las teclas [Alt], [Ctrl] o [Mayús], lo que multiplica la velocidad de movimiento por 100, 10 o 0.1.

Uno de los segmentos rojos representa la distancia máxima de P a Ω, y otro la mínima. Cuando hay 4, los otros dos corresponden a máximos/mínimos relativos. Sus valores se ven en la parte inferior como d(P, T_i).

¿Cuales son las coordenadas de los vértices de la evoluta ω?

¿Cuántas normales pueden trazarse desde los focos F y F'? ¿Para cualquier elipse?

¿Cuál es la distancia mínima/máxima de cualquier punto de la elipse a uno de los focos?

Desde puntos situados en los diámetros, ¿la distancia mínima/máxima siempre es a los vértices?

¿Qué ocurre si la elipse es una circunferencia (a=b)?

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 23 febrero 2023. Creado con GeoGebra