Mínimos peculiares 2

Hallar el valor mínimo de: √(x²+4) + √((x-7)²+(y-2)²) + √(9+(y+1)²)

Puede resolverse utilizando cálculo de dos variables, pero no es fácil y además es peligroso. En el único punto evidente donde se anulan los numeradores de ambas derivadas parciales, el (7, 2), también se anulan los denominadores y la función no es derivable, como también puede observarse en la gráfica en 3D. Para hallar el único punto en que realmente se anulan ambas derivadas, el (4, 1/2), hay que resolver un sistema irracional de dos ecuaciones con dos incógnitas no muy sencillo.

Un método más elemental y efectivo es interpretar la expresión como la suma de tres distancias entres cuatro puntos: A = (0, 4), B = (x, 2), C = (7, y) y D = (10, -1). Será mínima cuando los cuatro puntos estén alineados, lo que permite calcular fácilmente las coordenadas desconocidas de B y C. Pero ni siquiera hace falta, el valor mínimo no es otro que la distancia entre A y D, 5√5 en este caso.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 29 marzo 2019. Creado con GeoGebra