Mínimos peculiares

Hallar el valor mínimo de: √(y²+4) + √(x²+y²-4x-4y+8) + √(x²-8x+17)

Puede resolverse utilizando cálculo de dos variables, pero no es fácil y además es peligroso. En el único punto evidente donde se anulan los numeradores de ambas derivadas parciales, el (2, 2), también se anulan los denominadores y la función no es derivable, como también puede observarse en la gráfica en 3D. Para hallar el único punto en que realmente se anulan ambas derivadas, el (8/3, 3/2), hay que resolver un sistema irracional de dos ecuaciones con dos incógnitas no muy sencillo.

Un método más elemental y efectivo es interpretar la expresión como la suma de tres distancias entres cuatro puntos: A = (0, 0), B = (2, y), C = (x, 2) y D = (4, 3). Será mínima cuando los cuatro puntos estén alineados, lo que permite calcular fácilmente las coordenadas desconocidas de B y C. Pero ni siquiera hace falta, el valor mínimo no es otro que la distancia entre A y D, 5 en este caso.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 20 mayo 2016. Creado con GeoGebra