Maltitudes y anticentro de un cuadrilátero cíclico

Las maltitudes de un cuadrilátero son las rectas que pasan por el punto medio de un segmento y son perpendiculares al opuesto (como PP').

El baricentro (G) del cuadrilátero, centro de gravedad de los vértices, esta situado en el punto en que se cortan las dos medianas, que son los segmentos que unen los puntos medios de lados opuestos.

En un cuadrilátero cíclico, las cuatro maltitudes concurren en un punto (T), el anticentro, que es el simétrico del circuncentro (O) respecto al baricentro (G).

Para verlo es suficiente con demostrar que una cualquiera de las maltitudes pasa por el anticentro T. Desplaza el deslizador paso a paso para ver esta demostración.

Un cuadrilátero es ortodiagonal si las diagonales son perpendiculares. En un cuadrilátero cíclico y ortodiagonal, el anticentro coincide con el punto en que se cortan las diagonales.

Pulsa el botón [Cuadr. ortodiagonal ?] y mueve el nuevo deslizador para ver que las rectas perpendiculares a un lado que pasan por el punto de corte de las diagonales, bisecan al lado opuesto. Se trata del Teorema de Brahmagupta.

¿Puedes justificar que los ángulos marcados de la misma forma son iguales?

Como esto ocurre para las cuatro, se trata del anticentro. Pulsa nuevamente el botón, ahora etiquetado como [Cuadr. ortodiagonal √], para volver a uno que no lo sea.

El anticentro es también el ortocentro del triángulo formado por el punto de corte de las digonales y sus respectivos puntos medios,

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 25 octubre 2016. Creado con GeoGebra