Problema de Malfatti

En 1803 el matemático italiano Gian Francesca Malfatti (1731-1807) se planteo el siguiente problema:

«Dado un prisma triangular recto de cualquier tipo de material, tal como mármol, ¿cómo deben estar dispuestos tres cilindros circulares de la misma altura del prisma y del mayor volumen posible de manera que sobre la mínima cantidad posible de material?»

El problema se reduce a inscribir tres círculos en un triángulo, tomando una sección del prisma paralela a sus bases. Malfatti erróneamente supuso que la solución consistía en tres círculos tangentes dos a dos, y cad uno de ellos a dos lados del triángulo. Son los que se conocen como "Círculos de Malfatti", aunque el matemático japonés Ajima Naonobu (1732-1798) ya los había estudiado unos 30 años antes, cosa que con seguridad ignoraba Malfatti.

En realidad, esa no es para ningún triángulo la solución óptima del problema. Se consigue mayor superficie dentro de los círculos con el círculo inscrito y otros dos, limitados por el inscrito y el triángulo, o bien el inscrito, uno de los anteriores y otro situado entre este último y el triángulo. En el caso del triángulo equilátero, la diferencia es de tan solo un 1% en contra de los círculos de Malfatti. Pero a pesar de ello, tienen interés por si mismos.

H. Fukagawa and T. Rothman, Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry, Princenton University Press, 2008.

En el triángulo de la izquierda puede desplazarse el vértice B horizontalmente y el C libremente. En cada caso se da la fracción del área del triángulo ocupada por los círculos.
Pulsando el botón «Equilátero» se consigue un triángulo equilátero. La cuadrícula ayuda a establecer triángulos de distintas formas, y en particular rectángulos.

Aquí puede verse la construcción de los Círculos de Malfatti.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 22 diciembre 2020. Creado con GeoGebra