Estrella oscilante

En las posiciones extremas se tienen estrellas de 5 puntas asimétricas, pero simétricas una de la otra. Todos los polígonos coloreados son rígidos, pero las uniones entre ellos están articuladas.

Si el lado del pentagóno central es 1, ¿cualto valen las áreas S(n) de los sucesivos triángulos y trapecios?

Haciendo a(0)=0, a(1)=1 y a(n) las longitudes en orden de los distintos lados de los polígonos, se tiene que

a(n+1) = 2cos(54º)a(n)+a(n-1) = √(10-2√5)/2 a(n) + a(n-1)

Las alturas de los triángulos y de los trapecios es:

h(n) = sen(54º)a(n) = (√5+1)/4 a(n)

Y las áreas serán entonces;

S(n)=h(n) (a(n-1) + a(n+1))/2 = (√5+1)/4 a(n)(a(n-1) + √(10-2√5)/4 a(n))

donde para los triángulos es n = 1.

Resolviendo la recurrencia lineal homogénea de 2º orden para a(n), se puede obtener explícitamente:

a(n) = √(82√5 + 1066)/82((√(26 - 2√5)/4 + √(10 - 2√5)/4)ⁿ - (√(10 - 2√5)/4 - √(26 - 2√5)/4)ⁿ)

S(n) = ((√(13 - √5) + √(5 - √5))²ⁿ - (√(13 - √5) - √(5 - √5))²ⁿ)·√(164·√5 + 451)/(2³ⁿ⁺²41)

Para n = 1..5

a(n) = 1, √(10 - 2√5)/2, 7/2 - √5/2, √(65 - 22√5), 16 - 4√5

S(n) = √(2√5 + 10)/8, √(170 - 2√5)/8, √(3370 - 802√5)/8, 3√(9290 - 3422√5)/8, 5√(1450 - 610√5)

A partir de @KeishiroUeki

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 18 septiembre 2023. Creado con GeoGebra