La inversión en el plano

La inversión en el plano de centro O y potencia k² es una transformación geométrica que a cualquier punto A del plano distinto de O le hace corresponder otro A', su inverso, de manera que OA' = k²/OA y {O, A, A'} están en la misma semirrecta de origen O. Se trata de una involución: el inverso de A' es A.

Si al plano se le añade un único punto del infinito ∞ (plano estereográfico), la correspondencia uno a uno se puede extender a todos los puntos del plano ampliado, siendo O y ∞ inversos uno del otro.

La traslación al espacio tridimensional es inmediata, pero aquí hablaremos solo del caso bidimensional.

Los puntos de la circunferencia ω de centro O y radio k son invariantes o puntos dobles de la transformación. Muchas veces se habla de inversión (incluso reflexión, como hace GeoGebra en el comando Refleja[]) en la circunferencia ω, y a ésta se le denomina circunferencia de inversión o de puntos dobles.

Las rectas que pasan por O se transforman en si mismas, aunque no sus puntos, salvo los dos que se encuentran en ω.

Las rectas que no pasan por O, se transforman en circunferencias que si pasan por O, pues todas las rectas pasan por ∞. El centro de la circunferencia está en la perpendicular a la recta por O.

Recíprocamente, las circunferencias que pasan por O se transforman en rectas que no pasan por O, perpendiculares a la recta que une O con el centro de la circunferencia.

Finalmente, las circunferencias que no pasan por O se transforman en circunferencias que no pasan por O. Es importante notar que el centro de la circunferencia inversa no coincide con el inverso del centro. Las circunferencias ortogonales a ω, que se cortan con ella en ángulo recto, son invariables en la inversión, aunque no sus puntos.

Todo ésto puede verse muy fácilmente de forma sintética (applets en desarrollo ... ) o analítica (pdf igualmente en desarrollo ...)

La inversión no es una isometría ni aún una transformación afín, por lo que no se mantienen las distancias ni las proporciones. Lo que si se mantiene es la incidencia (dos líneas que se cortan en un punto P se transforman en líneas que se cortan en el inverso de P). Como consecuencia, se conservan las tangencias. Más aún, se conservan los ángulos con que se cortan dos curvas. Por ello, se conservan las formas localmente: a pequeña escala, un conjunto de líneas y sus transformados tienen un aspecto similar. Se dice que es una transformación conforme.

Puede cambiarse el radio de la circunferencia de inversión con el deslizador k. Se pueden presentar un punto A, una recta r y una circunferencia c y sus inversos A', r' y c', marcando las casillas correspondientes. ¡No conviene marcarlas todas a la vez!

En el caso de la recta y circunferencia, se pueden arrastrar globalmente con el ratón, o bien arrastra los puntos blancos que las definen. En ambos casos hay un punto B o C, que se desplaza solo por la línea y que puede animarse con el control de la esquina inferior izquierda.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 19 abril 2017. Creado con GeoGebra