Hipercubo 4D

Se muestra una proyección en 3D, como la 'sombra', de un hipercubo de 4 dimensiones, el análogo cuatridimensional del cubo ordinario en 3D o del cuadrado en 2D.

Los sucesivos cubos n-dimensionales se pueden generar a partir de un punto desplazándolo de forma que barra un segmento. Desplazando ahora este segmento una misma distancia en una dirección perpendicular a la primera, se obtiene un cuadrado. Desplazando uel cuadrado en una dirección perpendicular a las dos anteriores, se obtiene el cubo. En 4 dimensiones, desplazando el cubo en una dirección perpendicular a las tres anteriores, se obtiene el hipercubo 4D. Evidentemente se puede seguir el mismo proceso con dimensiones superiores.

En cada paso se duplica el número de puntos. En general, se duplican todos los elementos de dimensión k y se añaden tantos como los que había de dimensión k-1. Entonces el número de cada tipo de elementos en un hipercubo de dimensión n puede calcularse desarrollando formalmente el binomio (2+u)ⁿ, donde la u representa la unidad de longitud. Para el caso del 4 dimensiones:

(2+u)⁴=16u⁰+32u¹+24u²+8u³+1u⁴

Asì, el hipercubo 4D tiene 16 puntos, 32 aristas, 24 caras, 8 cubos y 1 hipercubo. Puede utilizarse el deslizador n para visualizar este proceso. Las aristas paralelas a cada una de las cuatro direcciones están coloreadas de Azul, Naranja, Verde y Rojo sucesivamente.

Marcando las sucesivas casillas de verificación pueden verse los cuatro pares de cubos de que consta el hipercubo.

Debe tenerse en cuenta que lo que rota aquí es la proyección 3D del hipercubo, no el hipercubo en si. Rotando el hipercubo, podrían obtenerse otras proyecciones, incluso con aspecto muy distinto, como un cubo en el interior de otro, con sus caras paralelas y los vértices más próximos de ambos conectados. En el mismo sentido que la proyección de un cubo ordinario en el plano puede tener aspectos muy diferentes: un cuadrado, un hexágono regular, un rectángulo con proporciones DIN-A ...

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 5 febrero 2022. Creado con GeoGebra