Hipérbola equilátera circunscrita a un cuadrilátero cíclico

Todas las hipérbolas equiláteras circunscritas a un triángulo △ABC, pasan por su ortocentro H_D. Cada uno de ellas corta a la circunferencia circunscrita en un cuarto punto, de manera que hay una correspondencia biunívoca entre los puntos de la circunferencia circunscrita y las hipérbolas equiláteras circunscritas al triángulo, que en las intersecciones con las alturas degenera en un par de rectas perpendiculares: la altura y el lado correspondientes.

Tomando un cuarto punto D en la circunferencia circunscrita, tenemos un cuadrilátero circunscrito ABCD, convexo o cruzado, y la hipérbola equilátera circunscrita al △ABC que pasa por D, también está circunscrita entonces a △BCD, △ACD y △ABD, y pasará igualmente por sus ortocentros H_A, H_B y H_C.

Es decir, los cuatro vértices de un cuadrilátero circunscrito y los cuatro ortocentros de los triángulos que determinan, se hallan en una misma hipérbola equilátera, cuyo centro es el punto medio entre cada vértice y el ortocentro del triángulo que no lo contiene.

El centro de la hipérbola es el punto medio de AH_A, BH_B, CH_C y DH_D. Por tanto, si se mantienen fijos tres de los vértices (A, B y C en la figura), y se deja que el cuarto (D en la figura) varíe en la circunferencia circunscrita, el centro de la hipérbola recorre la circunferencia de los nueve puntos del triángulo determinado por los tres primeros, que es la homotética de la circunscrita respecto del ortocentro con razón ½.

Pueden desplazarse los tres vértices A, B y C con el ratón, y D con el deslizador o marcando la casilla «Animación».

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 19 noviembre 2025. Creado con GeoGebra