Triángulos equiláteros a partir de hexágonos cualesquiera

Se tienen seis puntos en el plano A₀, A₁, A₂, A₃, A₄ y A₅, dados en orden.

A partir de cada par de puntos consecutivos (A_k, A_k+1) se construye un triángulo equilátero TA_k = (A_k, A_k+1, B_k), de manera que sus vértices se recorren siempre en el mismo sentido, por ejemplo negativo. Sean O_k los centros de estos triángulos.

De forma similar, se construyen los triángulos equiláteros TB_k = (B_k, B_k+1, C_k), con el mismo sentido que los anteriores, cuyos centros serán los puntos Q_k.

Se consideran los triángulos TO = (O_0.3, O_1.4, O_2.5) y TQ = (Q_0.3, Q_1.4, Q_2.5), donde O_k.k+3 es el punto medio de O_k y O_k+3, y Q_k.k+3 es el punto medio de Q_k y Q_k+3

Estos triángulos son equiláteros, su centro es el baricentro G de los A_k, y TQ es homotético con razón -2 de TO respecto a G.

Problema 1319 de GoGeometry

La demostración es directa utilizando números complejos para representar los puntos, aunque algo "aparatosa": GoGeometry1319.pdf.

Si se siguen construyendo sucesivas capas de triángulos equiláteros, los triángulos formados por los puntos medios de los segmentos que unen los centros de triángulos opuestos forman igualmente un triángulo equilátero, homotético del de la capa anterior con razón -2 respecto a G.

En el dibujo tenemos tres capas de estos triángulos. Se pueden añadir más, haciendo zoom y utilizando la herramienta 'Polígono regular' de la barra superior. Para hallar el centro de un triángulo equilátero, se puede trazar la circunferencia que pasa por sus tres vértices, penúltima herramienta, y luego hallar el punto medio de esta, con la última herramienta. ësta también halla el punto medio de dos puntos.

También se puede hallar el centro de un triángulo equilátrero, hallando la media de los tres vértices en la línea de entrada, al tiempo que se le puede dar un nombre.

Por ejemplo: S₀ = (D₀ + D₁ + E₀)/3, suponiendo que primero se ha creado el punto E₀.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 8 marzo 2017. Creado con GeoGebra