Estrella de 8 puntas en paralelogramo

En el paralelogramo ABCD los puntos K. L, M, y N son los puntos medios de los lados en que se hallan. Determinar el cociente entre el área del octógono central y la del paralelogramo.

El área de los paralelogramos que circundscriben al octógono es ⅕ de la de ABCD. Para verlo basta completar los cuatro cuadriláteros que lo limitan con los triángulos restantes. Para hallar el área del octógono basta entonces restar las áreas de cuatro de los pequeños triángulos que lo bordean.

Llamamos X al punto de intersección de BM y CK, Y al de CK y DL, y Z al de DL y BM.

Tenemos que Z es el baricentro del triángulo BCD, por lo que

X el punto medio del rectángulo KBCM, por lo que

Localicemos el punto Y en el triángulo ZCB, como intersección de las líneas ZL y CX, colocando masas adecuadas en los vértices para que sea el centro de gravedad. Como CL = LB, debemos poner masa iguales en C y B. Como XB = 3 ZX, debe haber una masa tres veces superior en Z que en B. Por tanto, colocamos masas unitarias en C y B, y de valor 3 en Z.

Por tanto, en la línea CZ hay que equilibrar en Y una masa unitaria situada en C y 4 = 3 + 1 masas colocadas en X:

Por semejanza, la alturas correspondiente al lado ZX del triángulo XYZ es la quinta parte de la altura correspondiente al lado MX del triángulo MCX.

Pueden desplazarse libremente los vértices B y D.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 13 diciembre 2013. Creado con GeoGebra