Equilátero entre paralelas

Dadas tres líneas paralelas l₁, l₂ y l₃, tales que la distancia entre l₁ y l₂ es r, y la distancia entre l₂ y l₃ es s, y entre l₁ y l₃ r + s, determinar el lado de un triángulo equilátero que tiene un vértice en cada una de ellas.

Fijado un vértice en una de las rectas, la solución es única salvo simetría, y se obtiene rotando otra de las rectas 60º en torno al punto fijado. Donde la recta girada corta a la tercera es un segundo vértice, y el tercero se obtiene deshaciendo el giro. Dependiendo del sentido de giro, se obtiene una solución o su simétrica.

El cálculo del lado del triángulo en función de r y s es sencillo:

r = d·sen(α) ⇒ sen(α) = r/d
s = d·sen(60º - α) = d((√3/2)cos(α) - (1/2)sen(α))
2s = d(√3√(1 - (r/d)²) - r/d) = √3√(d² - r²) - r ⇒
(2s + r)² = 3(d² - r²) ⇒ 4s² + 4sr + r² =3d² - 3r² ⇒
3d² = 4(r² + rs + s²) ⇒ d = 2√((r² + rs + s²)/3)

Para evitar duplicidades y encuadrar bien el triángulo, se debe introducir en el panel izquierdo valores de r y s tales que 0 < r ≤ s. Pulsando el botón [Solución paramétrica] se asignan a r y s los valores deducidos del panel derecho, tal y como se explica a continuación.

Es una ecuación homogénea de 2º grado en tres variables. Si estamos interesados en sus soluciones enteras, podemos dividir la penúltuima ecuación por d² y hacer x = r/d, y = s/d, con lo que nos queda:

x² + xy + y² = 3/4

Esta es la ecuación de una elipse en el plano Oxy. Los ejes son las bisectrices de los cuadrantes. Si localizamos un punto de coordenadas racionales, cualquier recta de pendiente racional que pase por el, volverá a cortar a la elipse en otro punto de coordenadas racionales. Dos puntos obvios de coordenadas racionales son (+/-1/2, +/-1/2). Como estamos interesados en puntos de coordenadas positivas, tomamos como vértice del haz de rectas el punto (-1/2, -1/2). La ecuación de cualquier recta que pase por él es

y + 1/2 = t(x + 1/2)

Para evitar duplicidades, y dado que solo estamos interesados en valores positivos, tomaremos r < s y ambos positivos, lo que restringe los valores de t a [1, 1 + √3]. Despejendo y en la ecuación de la recta, sutituyendo en la de la elipse y dividiendo por (x + 1/2), ya que x = - 1/2 es una solución, nos queda:

x = - (t² - 2t - 2)/(2(t² + t + 1))
y = (2t² + 2t - 1)/(2(t² + t + 1))

Para cada valor racional de t, se obtienen valores racionales de x e y, que multiplicados por el mcm de sus denominadores, que sera d, nos proporcionan r y s, todos enteros:

Modificando los valores de u y v en el panel derecho se modifica debidamente el panel izquierdo. pero al modificar los valores de r y s en el panel izquierda NO se modifica el panel derecho.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 18 octubre 2016. Creado con GeoGebra