Identidad trigonométrica en el eneágono regular

Las razones de los ángulos de 20º y 40º no pueden expresase mediante radicales cuadráticos, de los ángulos que se expresan con un número entero de grados solo puede hacerse con los que son múltiplos de 3º. Consecuentemente, estos ángulos no pueden construirse con regla y compás de forma exacta, ni las figuras que los incorporan de alguna forma, como el eneágono regular, cuyo ángulo central es de 40º. Sin embargo, a partir de un eneágono regular puede deducirse esta inesperada, por lo sencilla, relación entre las razones trigonométricas de 20º: tg(20º) + 4sen(20º) = √3.

La relación también puede obtenerse fácilmente usando los teoremas de adición:

sen(40º) = sen(60º - 20º) = sen(60º)cos(20º) - cos(60º)sen(20º)

2sen(20º)cos(20º) = (√3/2)cos(20º) - (1/2)sen(20º)

Multiplicando por 2 y dividiendo por cos(20º),

tg(20º) + 4sen(20º) = √3

Ignacio Larrosa, 6 junio 2016. Creado con GeoGebra