Dodecaedro romo (Snub Dodecahedron)

El dodecaedro romo o icosidodecaedro romo es un sólido de Arquímedes que tiene 92 caras, 80 de ellas triangulares y 12 pentagonales, 150 aristas y 60 vértices.

En todos los vértices concurren 4 triángulos y un pentágono, se trata de un poliedro uniforme, como todos los arquimedianos, en los que todos los vértices son equivalentes. Los 5 vértices inmediatamentre vecinos de uno cualquiera son coplanarios. Marcar la casilla 'Vértices coplanarios' para ver el plano que contine a los 5 vecinos del vértice P.

Cada uno de los 20 triángulos rojos limita con otros 3 triángulos verdes, mientras que estos 60 últimos limitan con un triángulo verde, otro rojo y un pentágono. Aunque triángulos rojos y verdes no ocupan poiciones equivalentes, los ángulos diedros formados por cualquier par de ellos son iguales.

Los 20 triángulos rojos forman parte de las caras de un icosaedro circunscrito al dodecaedro romo. Igualmente los 12 pentágonos forman partes de las caras de un dodecaedro circunscrito. Puede obtenerse entonces por truncación múltiple de estos poliedros.

No tiene simetrías, por lo que existen versiones enantiomorfas: dextro- y levo-dodecaedro romo.

Si φ es la razón áurea, φ=(√5 +1)/2 ≅ 1.6180339887498948482... y

ξ=(∛(- 6√(294√5 + 558) + 54√5 + 98) + ∛(6√(294√5 + 558) + 54√5 + 98))/6 - 2/3 ≅ 0.94315125924388181712...

es la raíz real de x³ + 2x² - φ² = 0

las coordenadas de los vértices del dextro-icosaedro romo se pueden obtener a partir del punto

P = (φ² - φ²ξ, -φ³ + φξ + 2φξ², ξ)

rotándolo repetidamente ángulos de 72º en torno al eje (0, 1, φ) y de 120º en torno al eje (1,1,1). Negando todas estas coordenadas se obtienen las de la versión levógira. La longitud del lado resultante con esas coordenadas es a=2ξ√(1-ξ)

Marcar la casilla 'Punto y ejes generadores' para visualizar el punto P y estos ejes.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 22 diciembre 2022. Creado con GeoGebra