Hexágonos con lados y diagonales enteros

Observa este hexágono ABCDEF en el que están señaladas las longitudes de sus lados y diagonales.

¿Cuantos cuadriláteros convexos se pueden formar con los vértices del hexágono ABCDEF como vértices?

¿Hay alguna relación entre los puntos en que se cortan dos diagonales y estos cuadriláteros?

De todos ellos, ¿cuántos son distintos (no congruentes)?

El Teorema de Ptolomeo afirma que la condición necesaria y suficiente para que un cuadrilatero sea inscriptible es que el producto de sus diagonales iguale a la suma de los productos de sus lados opuestos.

¿Cuáles de estos cuadriláteros se pueden inscribir en una circunferencia?

¿Es la misma circunferencia para todos?

Y sin recurrir el Teorema de Ptolomeo, ¿podrías contestar a las dos preguntas anteriores?

¿Puedes calcular el área del hexágono?

¿Podrías construir fácilmente otros hexágonos con todas las distancias enteras?

En el documento Familia infinita de hexágonos convexos con lados y diagonales enteros se muestra una familia infinita de hexágonos con todas sus diagonales y lados enteros. Como se ve marcando la casilla Dem, basta conque los ángulos sean todos de 120º, los lados sean enteros y alternativamente iguales, y tales que a² + b² + ab = c², con c entero.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 13 octubre 2016. Creado con GeoGebra