El producto de distancias de los focos de una hipérbola a una tangente es constante

El producto de distancias de los focos de una hipérbola a una tangente cualquiera es independiente de la tangente y su valor es b² = c² - a², siendo b la longitud del semieje imaginario.

Desplazar hacia abajo el deslizador paso a paso para ver la demostración.

Se puede desplazar el punto P de tangencia con el ratón o animarlo/pararlo con el con el control de la esquina inferior izquierda. Se pueden mover los puntos F y A para cambiar la hipérbola.

Los pies de las perpendiculares a las tangentes que pasan por los focos están sobre la circunferencia principal c_P de la hipérbola, que tiene centro en el centro de esta y pasa por los vértices.

Para la elipse, tal producto también es constante e igual a b², y la demostración es muy similar.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 29 diciembre 2014. Creado con GeoGebra