Desigualdad de Jensen

Si una función es convexa (cóncava hacia arriba ∪) en todo un intervalo [u, v] y a y b son números positivos tales que a + b = 1, se tiene que f(au+bv) ≤ af(u) + bf(v). Si la función es cóncava (cóncava hacia abajo ∩), el sentido de la desigualdad se invierte. La igualdad solo se da si u = v, a = 0 o b = 0.

Para a = b = 1/2, se puede formular, para funciones convexas, como «f de la media de los valores es menor o igual que la media de los valores de f». Para f(x) = x², tenemos que el cuadrado de la media es menor o igual que la media de los cuadrados:

((a+b)/2)² ≤ (a² + b²)/2 ⇒ (a+b)/2 ≤ √((a² + b²)/2).

Es decir, «la media aritmética es menor o igual que la raíz cuadrática media o media cuadrática».

La desigualdad de Jensen es en realidad mucho más general y se aplica a cualquier combinación lineal convexa de n valores, formulación finita, o a una integral, formulación continua.

Pueda cambiarse la función en el cajetín de entrada de la parte superior izquierda, los valores de u y v desplazando los puntos verdes, y los de a y b desplazando el punto rojo en el intervalo [u, v].

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 18 enero 2015. Creado con GeoGebra