La curvatura y los puntos de inflexión

La curvatura en un punto es el inverso del radio de curvatura, el radio de la circunferencia que más se aproxima a la curva en ese punto. Es positiva cuando el giro es a la izquierda y negativa si es a la derecha. En los puntos de inflexión, la curvatura es cero y cambia de signo. Si no hay cambio de signo, no hay punto de inflexión. En ellos, la recta tangente atraviesa a la curva. Para funciones explícitas y = f(x), la curvatura se calcula como:

k(x) = f''(x)/(1+(f'(x))²)^3/2

por lo que el signo coincide con la derivada segunda, aunque no su valor.

El coche y el volante simulan la conducción por una carretera que discurre por la gráfica de la función. En los puntos de inflexión el volante esta recto, y al ángulo de giro a izquierda y derecha es proporcional a la curvatura.

Se puede parar la animación y mover el deslizador 'x' con el ratón o las flechas del teclado, después de seleccionarlo, solas o en combinación con [Alt], [Ctrl] o [May].

Si se hace zoom, los tamaños de volante y coche cambian, por lo que pueden ajustarse con los controles correspondientes. El multiplicador del volante se multiplica por la curvatura para obtener el giro del volante. Si la curva presenta extremos muy cerrados, conviene bajar su valor para evitar que el volante de demasiadas vueltas.

Fuertemente inspirado en un applet de Tom Button.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 6 diciembre 2019. Creado con GeoGebra