Curiosidad en la cúbica

En una cúbica y = f(x), la secante s en P y Q y la tangente t en el punto M_PQ de abcisa igual a la de (P+Q)/2 se cortan en un punto R sobre la cúbica.

En particular, si P y Q se corresponden con un par de raíces de la cúbica, R lo hace con la 3ª raíz.

Pueden cambiarse los coeficientes de la cúbica con los deslizadores y desplazar los puntos P y Q con el ratón. La casilla de verificación reduce al caso general al particular.

Si la secante es s: y = mx + n, una transformación afín consistente en una traslación de vector (0, -n) y un deslizamiento paralelo al eje Oy de razón -m, transforma s en el eje Ox, f(x) en g(x) = f(x) - (mx + n) y t en t'. Como las transformaciones afines conservan la incidencia y el paralelismo, t' es tangente a g(x).

Basta entonces con probar el caso reducido, lo que se hace fácilmente expresando g(x) en función de sus raíces, abscisas de P, Q y R (y de P', Q' y R'):

g(x) = a(x-p)(x-q)(x-r)
g((p+q)/2) = -(a/8)(p-q)²(p+q-2r)
g'(x) = a(3x² - 2(p+q+r)x + (pq+pr+qr))
g'((p+q)/2) = -(a/4)(p - q)²
t': y = -(a/4)(p-q)²(x-r)

y la tangente intercepta al eje Ox en la 3ª raíz.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 2 marzo 2018. Creado con GeoGebra