Cuadrados en una malla cuadrada

Dada una malla cuadrada de n×n puntos equiespaciados, ¿cuántos cuadrados pueden formarse con sus vértices en ella y con cualquier orientación?

Cada posible cuadrado en la malla está inscrito en un cuadrado 'marco' de de k×k puntos e igual orientación que la malla.

¿Cuántos de estos marcos de lado k hay? Partiendo desde la parte inferior izquierda pueden desplazarse n-k+1 posiciones hacia la derecha y hacia arriba indpendientemente. Por tanto hay (n-k+1)².

En cada uno de estos marcos pueden inscribirse k-1 cuadrados, incluido el mismo (los demás girados).

Entonces, el número total de cuadrados que pueden inscribir en la malla de n puntos de lado es la suma de los productos del número de marcos de lado k por (k-1).

La sucesión está en la On-Line Encyclopedia of Integer Sequences con el número A002415.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 2 marzo 2023. Creado con GeoGebra