Inscribir un cuadrado en sector circular

Inscribir un cuadrado en un sector circular

Puede inscribirse un cuadrado con un lado sobre uno de los radios si la amplitud del sector α ≤ 90° (1). Si α ≤ 180°, puede inscribirse otro con dos vértices en el arco (2).

En las figuras se ha supuesto que el radio del sector es OA = 1. Las longitudes de los lados de ambos cuadrados se calculan fácilmente:

1) ED = CA = tg(α), OD = OA + AD = 1 + tg(α) ⇒ ∠DOE = arctg(tg(α)/(1 + tg(α)))
    FG = OF·sen(∠DOE) = sen(arctg(tg(α)/(1 + tg(α)))) = sen(α)/√(1 + sen²(α) + sen(2α))

2) △OML∼△OKJ ⇒ ML/OL = KJ/OJ ⇒ ML = BA/OJ
    BA = 2sen(α/2)
    OJ² = OA² + AJ² - 2OA·AJ·cos(∠OAJ)
    ∠OAJ = 90° + (180° - α)/2 = 180° - α/2 ⇒ cos(∠OAJ) = - cos(α/2)
    OJ² = 1 + (2sen(α/2))² + 2·2sen(α/2)cos(α/2) = 1 + 4sen²(α/2) + 2sen(α)
    ML = 2sen(α/2)/√(1 + 4sen²(α/2) + 2sen(α))

Tanto FG como ML son crecientes con α.

Para α = 30°, FG = ML = √(65 - 26√3)/13 ≅ 0.3437237693

Para 0 < α < 30°, FG < ML, y para 30° < α ≤ 90°, FG > ML

Para α = 90°, FG = √2/2 ≅ 0.7071067811 y ML = √10/5 ≅0.6324555320

Para α = 180°, ML = 2√5/5 ≅ 0.8944271909

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 13 enero 2018. Creado con GeoGebra