Cruzando peligrosamente la calle

Por una calle de anchura k metros circulan automóviles de ancho a metros, con una velocidad constante v₀ m/s y con una separación entre ellos de b metros.

Determinar la velocidad mínima v a la que debe cruzar la calle un peatón, el tiempo que le lleva hacerlo y la inclinación de su trayectoria respecto a la dirección de la calle, suponiendo que se mueve siempre en línea recta con velocidad constante.

El peatón debe coincidir con la parte trasera derecha de un vehículo en un instante y con la delantera izquierda del vehículo siguiente en un instante posterior. Si es t el lapso entre ambos instantes, se tiene que

(vt)² = a² + (v₀t - b)² ⇒ v²= (a² + (v₀t - b)²/t²

d(v²)/dt = (2bv₀t - 2(a² + b²))/t³ = 0 ⇒ t = (a² + b²)/(bv₀)

d²(v²)/dt² = 2b⁴v₀⁴/(a² + b²)³ > 0

El tiempo que tarda el peatón en cruzar la calle es

T = (k/a)t = k(a² + b²)/(abv₀)

Y la velocidad mínima, correspondiente al valor de t calculado, es

v = av₀/√(a² + b²)

En cuanto al ángulo formado por la trayectoria, es

tg θ = a/(v₀t - b) = b/a

Los cuatro parámetros pueden introducirse en el cajetín correspondiente o variarse con el deslizador contiguo. Puede pararse la animación y variar directamente el deslizador t entre 0 y T. Aquí t es ahora el tiempo transcurrido desde que el peatón abandona la acera, no el tiempo en que tarda en atravesar el ancho de los vehículos.

Aparecido varias veces en oposiciones de secundaria con similares enunciados, la primera en el Tribunal único de Agregados de 1969, y recientemente en el grupo de telegram Retos matemáticos.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 31 marzo 2026. Creado con GeoGebra