Circunferencia de Conway

En un triángulo cualquiera, se prolongan los lados a partir de los vértices en una longitud igual al lado opuesto al vértice. Los seis extremos de estas prolongaciones son concíclicos. Se trata de la circunferencia de Conway, cuyo centro es el incentro de ABC.

Utilizando el concepto de potencia de un punto respecto a una circunferencia también se justifica fácilmente la existencia de la circunferencia de Conway:

AF·AG = AH·AI ⇒ F, G, H e I son concíclicos, están en c_A
BD·BE = BH·BI ⇒ D, E, H e I son concíclicos, están en c_B
CD·CE = CF·CG ⇒ D, E, F y G son concíclicos, están en c_C

Esto solo demuestra que los seis puntos están en tres circunferencias que se cortan dos a dos en un par de puntos. Pero FG es una cuerda de c_A y c_C, por lo que A tiene la misma potencia respecto de ambas. Como HI es a su vez una cuerda común de de c_A y c_B, A también tiene la misma potencia respecto a estas dos, y por tanto a las tres, por lo que debería ser su centro radical, si fuesen distintas. Pero lo mismo se puede decir de B y C. Pero si tres puntos distintos tienen la misma potencia respecto de las tres circunferencias, necesariamente deben ser las tres coincidentes.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 8 enero 2017. Creado con GeoGebra