Triangulo conocidos perímetro, ángulo y altura relativa

Supongamos que es α el ángulo conocido, opuesto al lado a, y h la altura correspondiente.

Llevando a cada lado de a los lados b y c, tenemos un segmento de longitud igual al perímetro p conocido, de extremos B' y C'. En el triángulo isósceles B'AB, los ángulos iguales ∠AB'B y ∠B'AB valen β/2, y en el triángulo isósceles C'AC, los ángulos iguales ∠AC'C y ∠C'AC valen γ/2, por lo que:

∠B'AC' = α + (β + γ)/2 = α + (180° - α)/2 = 90° + α/2

Por tanto, A debe estar en al arco capaz de 90° + α/2 del segmento B'C'. Como también debe estar en la paralela a B'C' a una distancia h, estará en la intersección de ambos.

Tendremos dos soluciones una o ninguna según que h sea <, = o > que

(p/2)tg((180° - α)/4) = (p/2)tg(45° - α/4).

Conocido A, la intersección de las mediatrices de AB' y AC' con el segmento B'C' nos dan los vértices B y C del triángulo.

Si el ángulo ∠B'AC = 90° + α/2, su suplementario será 90° - α/2, por lo que la cuerda B'C' se verá desde el centro de la circunferencia correspondiente al arco capaz con un ángulo de 180° - α, y la semicuerda con un ángulo de 90° - α/2. Por tanto, el radio de esta circunferencia en C' formará con el segmento B'C' el ángulo complementario, α/2.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 6 Marzo 2017. Creado con GeoGebra