Construcción de un triángulo dados ángulo A y radios R y r

"Construir un triángulo conocido el ∠A y los radios r y R de sus circunferencias inscrita y circunscrita."

Se utilizan algunos resultados sencillos de establecer:

1. Desde el incentro los lados se ven bajo un ángulo 90° mayor que la mitad del ángulo opuesto al lado. Es decir, ∠BIC = 90° + ½ ∠BAC (teniendo en cuenta que las bisectrices dividen a los ángulos en dos partes iguales).

2. En el cuadrilátero, convexo o cóncavo pero no cruzado, formado por el centro de una circunferencia y tres puntos sobre ella, el ángulo en el vértice opuesto al centro es igual al suplementario de la mitad del ángulo en el centro (teniendo en cuenta que el ángulo central el doble que el inscrito que abarca el mismo arco).

3. La bisectriz de un ángulo pasa por el punto medio del arco de la circunferencia circunscrita correspondiente al lado opuesto (ángulos inscritos iguales abarcan arcos iguales).

Utilizar los controles inferiores para ver la construcción paso a paso.

Para los valores numéricos se ha tomado sin pérdida de generalidad R = 1.

La distancia d entre incentro y circuncentro es d² = R² - 2Rr, debida a Euler. Es conocido que dadas dos circunferencias interiores que cumplan la anterior relación, puede construirse un triángulo inscrito/circunscrito a ellas empezando en cualquier punto, un caso particular del porisma de Poncelet. Despejando de la desigualdad r ≤ r_max se obtiene para el ángulo α:

½ arcsen(½(1-√(1-2r))) ≤ α ≤ ½ arcsen(½(1+√(1-2r)))

(supuesto R = 1)

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 27 Mayo 2017. Creado con GeoGebra