Cónica que pasa por cinco puntos

Por cinco puntos, de los que no hay tres alineados, pasa una sola cónica no degenerada. Si hay tres alineados, la cónica se escinde en dos rectas secantes o paralelas, una cónica degenerada. Pasando todos los términos de su ecuación a un miembro, de forma que queden igualados a cero, el polinomio resultanrte se puede factorizar en producto de dos polinomios de primer grado, cada uno de los cuales, igualados a cero, representa una recta. Si hay cuatro puntos alineados, el par formado por la recta que los contiene y cualquier otra recta que pase por el otro punto constituyen una cónica degenerada que pasa por los cinco puntos, y por la tanto queda indeterminada.

Puedes desplazar los cinco puntos de color azul claro que determinan la cónica. Intenta colocarlos de manera que determinen:

Un par de rectas paralelas
Un par de rectas secantes
Una circunferencia
Una elipse no circular
Una parábola
Una hipérbola
Una hipérbola equilátera.

Utilizando el Teorema de Pascal, a partir de cinco puntos podemos determinar infinitos más que pertenecen a la misma cónica. Es por esto que la cónica queda determinada por tan solo cinco puntos, de los que no hay cuatro alineados.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 21 Marzo 2013. Creado con GeoGebra