Razones de segmentos y áreas determinados por dos transversales

Dado un △ABC y dos transversales PM y QN que se cortan en el interior del triángulo y que determinan en los lados segmentos de proporciones conocidas, ¿cómo pueden determinarse los segmentos determinados por su punto de intersección y las cuatro áreas en que dividen al triángulo?

Puede hacerse por geometría de masas, situando en cada vértice masas adecuadas para que el punto R de intersección de las transversales sea el centro de gravedad de los tres vértices.

Sean p, q y r proporcionales a los segmentos en que las transversales dividen al lado a, y m y v de un lado, y n y w del otro, a los segmentos en que dividen a los lados b y c, como se ve en la figura.

Las masas en B y en C conviene dividirlas en dos partes, B_A y B_C para B, y C_A y C_B para C, de manera que M sea el baricentro de A y C_A, y P el de B y C_B de una parte. Y de otra, que N lo sea de de A y B_A mientrás Q lo es de C y B_C. De esta forma, R es el baricentro común de M y P de un lado, y de N y Q de otro, cuando las masas se reagrupan de la forma indicada. Para calcular las masas podemos plantear el sistema de ecuaciones:

wA = nB_A
vA = mC_A
p(B_A + B_C) = (q+r)C_B
q(C_A + C_B) = (p+r)B_C

Reolviendo este sistema de ecuaciones lineales respecto de B_A, B_C, C_A y C_B, obtenemos:

B_A = wA/n
C_A = vA/m
B_C = q(nqv + mpw + nrv)A/(mnr(p + q + r))
C_B = p(nqv + mpw + mrw)A/(mnr(p + q + r))

Tomando entonces A = mnr(p + q + r) para eliminar denominadores, nos quedan las masas utilizadas en la figura.


La fracción de área correspondiente a △T_r se calculo como:

△T_r = (r/(q + r))(PR)/(PR + RM))△MPC = (r/(q + r))(PR)/(PR + RM))((q + r)/(p + q + r))(m/(m + v))△ABC

y a continuación:

S_B = △NBQ - T_r
S_C = △MPC - T_r
S_A = T - S_B - S_C + T_r

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 9 enero 2025. Creado con GeoGebra