Cisoide de Diocles

Se trata de una curva cúbica, estudiada por Diocles en relación con el problema délico de la duplicación del cubo.

Se puede obtener a partir de una circunferencia c de diámetro OA = 2a y su tangente l en el punto A. Una semirrecta con origen en O que vuelva a cortar a c en un punto P₁, cortará a l en P₂. El punto P sobre la semirrecta tal que OP = P₁P₂ genera la cisoide («con forma de hoja de hiedra»). Utilizando el ángulo θ formado por la semirecta con el diámetro OA es muy fácil obtener las ecuaciones polares de c, l y ω. Téngase en cuenta que ∠PP₁A es recto, al estar inscrito en una semicircunferencia. A partir de ésta se obtienen fácilmente ecuaciones paramétricas, implícita y explícta de la cisoide.

Con estas ecuaciones es inmediato ver que la cisoide es simétrica respecto al diámetro OA, presenta en O un punto cuspidal, donde la tangente es OA, que la recta l es una asíntota y que el área S limitada por la curva y la asíntota equivale a tres veces el círculo usado para definirla.

Marcando la casilla ∛2 puede verse como utilizarla para hallar dos medios proporcionales entre los segmentos p = OA y q = OC. Tomando q = 2p obtenemos el segmento AP₂ que proporciona la arista de un cubo de volumen doble que el de arista OA.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 5 agosto 2025. Creado con GeoGebra